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I RADICALI von Mind Map: I RADICALI

1. OPERAZIONI CON I RADICALI

1.1. SOMMA ALGEBRICA (addizione e sottrazione)

1.1.1. si SOMMANO ALGEBRICAMENTE i numeri che MOLTIPLICANO la radice solo nel caso in cui le radici presentino il medesimo INDICE e il medesimo RADICANDO.

1.2. MOLTIPLICAZIONE

1.2.1. se le radici hanno MEDESIMO INDICE

1.2.1.1. ottengo radice con medesimo INDICE di quelle date e con RADICANDO pari al prodotto tra i radicandi delle radici

1.2.2. se le radici hanno INDICI DIFFERENTI

1.2.2.1. 1. calcolare m.c.m tra gli INDICI delle radici

1.2.2.2. 2. PER OGNI RADICE: dividere m.cm. per indice della radice

1.2.2.3. 3. PER OGNI RADICE: attribuire a ogni radice l' m.c.m trovato come INDICE

1.2.2.4. 4. PER OGNI RADICE: attribuire al radicando di ogni radice una potenza pari al risultato ottenuto dalla divisione precedente

1.2.2.5. 5. ottengo radice con medesimo INDICE di quelle date e con RADICANDO pari al prodotto tra i radicandi delle radici

1.3. DIVISIONE

1.3.1. se le radici hanno MEDESIMO INDICE

1.3.1.1. 1. raccogliere sotto una radice che ha il medesimo INDICE di quelle date i RADICANDI delle due radici poste a rapporto

1.3.1.2. 2. calcolare il valore del rapporto

1.3.1.3. 3. ottengo una radice che ha come INDICE il medesimo di quelle date e come RADICANDO il rapporto tra quelli dati

1.3.2. se le radici hanno INDICI DIFFERENTI

1.3.2.1. 1. calcolare l'm.c.m tra gli INDICI delle radici

1.3.2.2. 3. PER OGNI RADICE: attribuire a ogni radice l' m.c.m trovato come INDICE

1.3.2.3. 4. PER OGNI RADICE: attribuire al radicando di ogni radice una potenza pari al risultato ottenuto dalla divisione precedente

1.3.2.4. 5. ottengo radice con medesimo INDICE di quelle date e con RADICANDO pari al prodotto tra i radicandi delle radici

1.3.2.5. 6. procedere attuando i medesimi passaggi che si applicano nel caso in cui le radici hanno il MEDESIMO INDICE

1.4. POTENZA DI RADICALE

1.4.1. 2. PER OGNI RADICE: dividere m.cm. per indice della radice

1.4.2. ELEVARE A POTENZA il radicando lasciando invariato l'INDICE della radice

1.5. RADICE DI RADICALE

1.5.1. ottengo radice che ha il medesimo RADICANDO del radicale dato e ha come INDICE della radice il PRODOTTO tra gli indici delle radici

1.6. PORTARE FUORI DALLA RADICE

1.6.1. CONDIZIONE: se uno dei fattori sotto radice è elevato ad un esponente maggiore dell'indice della radice, è possibile portarlo fuori.

1.6.2. il fattore portato fuori dalla radice deve essere elevato al risultato della divisione tra il suo esponente e l'indice della radice e, se la divisione ha un resto diverso da 0, il fattore sarà presente anche sotto radice, ma elevato al resto della divisione.

1.7. PORTARE DENTRO LA RADICE

1.7.1. per portare un fattore positivo dentro la radice basta elevarlo all'indice della radice.

1.7.2. se il fattore è negativo, per radici di indici dispari procedo come precedentemente indicato, mentre per radici con indici pari devo lasciare il segno fuori della radice.

1.7.3. se ho un fattore letterale di cui non conosco il segno e la radice ha indice pari devo considerare separatamente i due casi.

2. TEOREMA DI BASE

2.1. Sia A un numero reale positivo e sia n un numero intero positivo. Esiste un unico numero reale positivo x tale che x^n=A

2.1.1. x si chiama RADICE N-ESIMA (ARITMETICA) DI A e si indica come riportato in figura.

2.1.1.1. nomenclatura

2.1.1.1.1. le radici possono essere NUMERI RAZIONALI o IRRAZIONALI

2.1.1.2. È possibile estendere l'operazione di elevamento a potenza con base positiva anche al caso di un esponente razionale qualsiasi, quindi di una frazione che abbia per numeratore un numero che non sia necessariamente 1.

2.1.1.2.1. Quando ci si trova davanti ad una potenza con un esponente razionale il denominatore dell'esponente diventa l'indice della radice, mentre il numeratore si comporta come un esponente che si può applicare dopo aver fatto la radice o al radicando prima di fare la radice

2.1.1.3. Si può definire la radice n-esima anche se A è negativo ed n dispari: in questo caso si porta il segno meno davanti alla radice e sotto radice si scrive A cambiato di segno (A positivo)

2.1.1.3.1. Se però l'indice della radice è pari e il radicando è negativo la radice n-esima non è esiste nell'ambito dei numeri reali

2.1.1.4. In questa notazione si può interpretare l'estrazione come un elevamento a potenza dove l'esponente è una frazione che ha per numeratore 1 e per denominatore l'indice della radice

3. PROPRIETA' DEI RADICALI

3.1. PROPRIETA' 1

3.1.1. se eleviamo la radice ennesima all'INDICE della radice il risultato ottenuto coincide con il RADICANDO

3.2. PROPRIETA' 2

3.2.1. la radice n-esima di un qualsiasi valore A elevato alla n

3.2.1.1. se la radice ha radicando NEGATIVO o POSITIVO, il quale è elevato a una potenza DISPARI il cui valore coincide con l'INDICE della radice, il risultato coincide con il RADICANDO.

3.2.1.2. se la radice ha radicando NEGATIVO o POSITIVO, il quale è elevato a una potenza PARI il cui valore coincide con l'INDICE della radice, il risultato coincide con il VALORE ASSOLUTO del radicando

3.3. se moltiplico l'indice della radice e l'esponente del radicando per uno stesso numero intero positivo ottengo un nuovo radicale equivalente a quello di partenza.

3.3.1. Inoltre nel caso di radici dispari aventi per radicando un numero negativo, è possibile portare il segno fuori dalla radice e poi applicare la proprietà.

3.4. PROPRIETA' 3 PROPRIETA' INVARIANTIVA https://www.youtube.com/watch?v=MMMQZ3AiPI4&t=24s

3.4.1. Se A è maggiore o uguale a 0 allora

3.4.2. Proprietà al contrario

3.4.2.1. se l'indice della radice e l'esponente del radicando hanno un fattore in comune possiamo dividerli entrambi per il fattore.

3.4.3. Proprietà invariantiva con le lettere

3.4.3.1. se il radicando è letterale, quando applichiamo la proprietà invariantiva dobbiamo fare in modo che il radicale semplificato e quello di partenza abbiano le stesse c.e. e lo stesso segno. Per questo motivo, a volte, è necessario usare il valore assoluto.

4. RAZIONALIZZAZIONE DEL DENOMINATORE

4.1. è il procedimento che consente di eliminare dal denominatore eventuali quantità irrazionali (radicali in particolare)

4.1.1. l'obiettivo è riscrivere la frazione in una nuova frazione equivalente a quella di partenza, ma priva di radici al denominatore

4.2. RAZIONALIZZAZIONE DI PRIMO TIPO

4.2.1. il denominatore è la radice quadrata di una certa quantità (numero, lettera o espressione letterale)

4.2.2. per razionalizzare bisogna moltiplicare sia il numeratore che il denominatore per quella radice quadrata

4.3. RAZIONALIZZAZIONE DI SECONDO TIPO

4.3.1. il denominatore è del tipo riportato in figura, con m<n

4.3.2. per razionalizzare bisogna moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale riportato in figura

4.4. RAZIONALIZZAZIONE DI TERZO TIPO

4.4.1. il denominatore è la somma o la differenza di due radicali quadratici

4.4.2. per razionalizzare si sfrutta il prodotto notevole somma per la differenza di due monomi, che dà come risultato la differenza dei quadrati dei monomi